Pour comprendre rapidement le sujet, je me suis fait un résumé de l’article du professeur Etienne Pardoux de l’université d’Aix-Marseille, en reprenant des paragraphes et en en adaptant d’autres, vous pouvez retrouver l’article utilisé, en version originale ici
Ou en plus complet encore ici
Un modèle simple pour cerner la situation
« Le modèle de Reed-Frost est un des plus vieux modèles mathématiques des épidémies, il date de 1929. Il est très simpliste, mais il permet d’introduire des notions essentielles et d’obtenir une formule mathématique importante. »
Le paramètre au centre de cet article est R0 (Nombre de reproduction de base) c’est le nombre moyen de susceptibles qu’un infecté infecte au début de l’épidémie, c’est-à-dire dire « lorsque presque toute la population n est susceptible ».
R0 = n × p (p probabilité d’infection)
Les individus sont de trois types :
- S comme susceptible (d’être infecté),
- I comme infecté et infectieux (capable d’infecter un S),
- R comme remis ou retiré (soit guéri, soit mort).
« Dans ce modèle, dit « SIR », le temps est discret (on progresse semaine par semaine, par exemple) ; la population est supposée grande, sa taille est n. Au début, il y a n-1 individus de type S, 1 individu de type I et 0 de type R. Un individu qui est infecté une semaine donnée infectera chaque S avec la probabilité p la semaine suivante, puis guérira (devenant R). L’épidémie se poursuit tant qu’il y a des infectés (que I n’est pas nul), puis elle s’arrête.
Deux remarques : on néglige pour simplifier la phase d’incubation ; on suppose qu’un individu de type R, s’il n’est pas mort (ce qui heureusement est le cas de l’immense majorité des R), est immunisé – en réalité, à ce stade, on ne sait pas encore beaucoup de choses sur l’immunité au Covid-19. »
Dans le modèle de Reed–Frost, combien vaut R0 ? Donnons des valeurs à nos deux paramètres. Supposons que n = 1 000, et que p = 0,0025 (soit 0,25 %). Le premier infecté a autour de lui n-1 ≃ n = 1 000 individus susceptibles. Puisqu’il infecte chacun d’eux avec la probabilité p, ce nombre moyen vaut ici R0 = n × p = 2,5.
Si R0 < 1, il n’y aura pas d’épidémie majeure avec un petit nombre d’infectés initiaux, de même si R0 = 1. Par contre si R0 > 1, un seul infecté initial peut déclencher une épidémie majeure, qui touche une fraction importante de la population.
Lorsqu’une fraction de la population est immunisée, dans le modèle de Reed-Frost, pour savoir combien de susceptibles un infecté infecte en moyenne, il faut multiplier p par le nombre S de susceptibles restant, et bien avant que ce nombre ne s’annule, le produit p × S passe en dessous de 1, et alors l’épidémie s’arrête.
Soit τ la fraction de la population touché par l’épidémie : 1-τ = e–R0 × τ.
R0=2, τ=79 % ; pour R0=3, τ=94 % ; pour R0=4, τ=98 % ; et pour R0=5, τ=99 %.
Nous avons aussi : R0 = p × c × l, où
- p est la probabilité de transmission à chaque « contact »,
- c est le nombre de « contacts » par jour et
- l est la durée de la période d’infection.
Alors, les mesures de prévention visent à réduire R0 en réduisant :
- la probabilité de transmission à chaque « contact » p : masques, lavage des mains ;
- le nombre de « contacts » par jour c : confinement, éviter les transports publics et les grands rassemblements ;
- la durée de la période d’infection l : diagnostic rapide, isolation des infectés, traitement efficace (si disponible).
Covid-19
Certaines estimations tournent autour de 2,5, d’autres donnent des valeurs plus importantes, entre 3 et 5 ! Il est probable que R0 ne prend pas la même valeur dans des zones peu peuplées, et en région parisienne par exemple où beaucoup de gens se pressent dans les transports en commun. Si le gouvernement n’avait pas pris de mesures fortes, on peut penser qu’entre 60 et 80 % de la population aurait été touchée.